こんにちは、レポトンです
5人の生徒P・Q・R・S・Tが登場する数学の文章題で、条件が多くて整理できない、どの文字を使って式を立てればよいかわからないとお悩みではないでしょうか？
そこで今回は、5人の数学テストの点数を求める問題について、条件の読み取り方から答えの導き方までわかりやすく解説します！
この記事は次のような人におすすめ！
- PQRSTのような文字式の問題が苦手な人
- 文章から条件を正しく読み取りたい人
- 答えが合っているか確認する方法を知りたい人
この記事を読むと、5人の点数関係を表に整理し、連立方程式を使って答えを求められるようになりますよ。
文章題を自信を持って解けるようになりたい方は、ぜひ参考にしてみてくださいね！
それではどうぞ！
1. 5人の生徒PQRSTが登場する問題の内容
このタイプの問題では、5人の生徒が数学のテストを受け、それぞれの点数についていくつかの条件が示されます。たとえば、次のような問題を考えてみましょう。
例題で条件を確認する
P、Q、R、S、Tの5人が数学のテストを受けました。5人の平均点は70点です。PはQより8点高く、RはQより4点低く、SはPより6点低く、TはRより10点高いとします。このとき、5人の点数をそれぞれ求めなさい。
問題文の数字は、関係を読み取るための材料です。いきなり計算を始めるのではなく、まず「誰を基準にすると全員を表せるか」を考えます。この例では、P・R・S・Tの点数がQとの関係、またはQからたどれる関係で表せるため、Qを基準にすると整理しやすくなります。
2. 数学テストの条件を表に整理する方法
条件整理のポイントは、文字を1つ決め、ほかの点数をその文字で表すことです。今回はQの点数をx点と置きます。Qを基準にすると、問題文に出てくる増減をそのまま式へ変換できます。
点数の関係を式に置き換える
| 生徒 | 問題文からわかること | 点数の表し方 |
|---|---|---|
| P | Qより8点高い | x＋8 |
| Q | 基準にする | x |
| R | Qより4点低い | x−4 |
| S | Pより6点低い | x＋8−6＝x＋2 |
| T | Rより10点高い | x−4＋10＝x＋6 |
特にSとTは、Qから直接比べるのではなく、PやRを経由して表します。Pの点数がx＋8なので、Sはそこから6を引いてx＋2です。同じように、Rがx−4なので、Tはそこへ10を足してx＋6となります。
平均点を合計点に変える
平均点に人数を掛けると、5人分の合計点が求められます。平均が70点で人数が5人なので、合計点は70×5＝350点です。この「平均から合計を出す」処理を忘れると、最後の式を正しく立てられません。
- 基準にする生徒を1人決める
- ほかの生徒の点数を基準の文字で表す
- 平均点から全員の合計点を求める
3. 式を立てて答えを導く手順
表ができたら、5人の点数を足して合計点と等しくします。今回の式は、(x＋8)＋x＋(x−4)＋(x＋2)＋(x＋6)＝350です。これが、平均点の条件を利用した方程式になります。
方程式を整理する
左辺のxをまとめると5xになります。数字の部分は8−4＋2＋6なので12です。したがって、式は5x＋12＝350となります。両辺から12を引くと5x＝338、さらに5で割るとx＝67.6です。
この結果、Qの点数が67.6点となり、ほかの点数はPが75.6点、Rが63.6点、Sが69.6点、Tが73.6点です。ただし、学校のテストで整数点を想定する場合、平均点や差の設定が整数解になるかを問題文で確認する必要があります。今回の例は、式の立て方を示すためのモデルとして扱っています。
整数になる例として確認する
もし5人の平均点が72点なら、合計は360点です。同じ関係式に当てはめると5x＋12＝360となり、5x＝348、x＝69.6です。このように、条件によっては小数の点数になることもあります。点数を整数で答える問題なら、数字の写し間違いがないか、また設問の条件を読み落としていないかを確認しましょう。
式を作るときは、いきなり数字だけを計算せず、まず5人分を順番に書き出すのがおすすめです。書き出してから同類項をまとめれば、足し忘れを防げます。
4. 間違えやすいポイントと確認方法
この問題で多いミスは、比較の向きを反対にすることです。「RはQより4点低い」をR＝Q＋4としてしまうと、点数の大小関係が崩れます。「低い」「少ない」「短い」は引き算、「高い」「多い」「長い」は足し算と考えると整理しやすくなります。
- 5人分の点数をすべて式に入れたか
- 平均点に人数を掛けて合計点にしたか
- 高い・低いの向きを間違えていないか
- 求めた点数を元の条件に戻して一致するか
最後の確認では、求めた点数を実際に足して平均を計算します。また、PとQの差、QとRの差、PとSの差、RとTの差も順番に確かめましょう。合計と差の両方が合っていれば、計算過程の信頼性が高まります。
5. 類題に応用できる解法のコツ
類題でも基本の流れは変わりません。大切なのは、条件を一度に処理しようとせず、基準となる生徒から少しずつ関係を広げることです。Pを基準にしても、Qを基準にしても、最終的な答えは同じになります。
基準の選び方を工夫する
ほかの生徒と直接比べられている人や、条件の中心にいる人を基準にすると式が短くなります。たとえば「PはQより高く、RはQより低い」という条件があるなら、Qをxと置くのが自然です。一方、「PとQの合計」や「PとQの差」が中心なら、PとQのどちらかを基準にしてもよいでしょう。
差の情報と平均の情報を分ける
「何点高い」「何点低い」は、個々の点数を表すための情報です。一方、「平均点」は全員の合計を作るための情報です。この2種類を分けて考えると、文章が長くても混乱しにくくなります。先に点数の関係をすべて文字式にし、最後に平均の式へまとめるのがコツです。
条件が増えた場合の考え方
「PとRの合計が決まっている」「SはTの2倍」などの条件が加わると、連立方程式を使う場合があります。そのときも、まず各生徒の点数を文字で表すところまでは同じです。式を立てたあと、合計の条件や比の条件を別の式として並べ、未知数の数に合わせて解きます。
文字を置くことは、答えを遠回りする作業ではありません。複雑な文章を、計算できる形へ翻訳する作業です。条件を表や図にしてから式へ進めば、初めて見る類題にも対応しやすくなります。
まとめ
5人の生徒PQRSTの数学テスト問題は、点数の関係を1つの文字で表し、平均点を合計点に変えて方程式を作ると解きやすくなります。
- 基準となる生徒を決める
- 高い・低いの向きを正しく式にする
- 平均点×人数で合計点を求める
- 最後に元の条件へ戻して答えを確認する
まずは問題文の人物を表に書き出し、誰を基準にすると整理しやすいかを考えてみてください。この手順を繰り返せば、条件の多い文章題でも落ち着いて式を立てられるようになります。
