こんにちは、レポトンです。
5人の生徒P・Q・R・S・Tが受けた数学テストの問題について、条件は分かっても、どのように式を立てればよいか迷いますよね。得点問題と順列の話が混ざると、使う公式も分かりにくくなります。
そこで今回は、P・Q・R・S・Tの数学テスト問題の問題文、答え、得点の求め方を解説します！あわせて、5人を並べる順列の考え方との違いも整理します。
この記事は次のような人におすすめ！
- 元の問題文と正答を確認したい人
- Qの得点を式で求めたい人
- 得点問題と順列問題の違いを知りたい人
読み終えるころには、条件を文字に置き換え、平均点から答えを導く流れと、PQRSTを並べる場合の数え方を使い分けられるようになります。
それではどうぞ！
5人の生徒P・Q・R・S・Tの数学テスト問題
問題文と与えられた条件
確認できた問題文は、次の内容です。
5人の生徒P、Q、R、S、Tが数学のテストを受けた。Pの得点は94点であり、R、Sの得点はTの2倍、Tの得点はQの得点の1.5倍であった。5人の得点の平均が63点であったとき、Qの得点は何点か。
条件を式にすると、Pは94点、RとSはそれぞれTの2倍、TはQの1.5倍です。また、5人の平均点は63点です。なお、RとSが同点であること以外に、個別の順位条件は示されていません。
何を求める問題か
求めるのは、5人のうちQの得点です。平均点が分かっているため、まず5人の合計点を求め、Qを文字に置き換えて方程式を作ります。
答えの先取り
Qの得点は26点です。以下で、なぜ26点になるのかを順番に確認します。
問題文を整理して順位や得点の関係を確認する
得点・順位・大小関係を表にする
Qの得点をx点と置きます。TはQの1.5倍なので1.5x点、RとSはTの2倍なので、それぞれ3x点です。
| 生徒 | 条件から表した得点 | 計算後の得点 |
|---|---|---|
| P | 94点 | 94点 |
| Q | x点 | 26点 |
| R | 3x点 | 78点 |
| S | 3x点 | 78点 |
| T | 1.5x点 | 39点 |
計算後の大小関係は、P>R=S>T>Qです。RとSは同点なので、順位はPが1位、R・Sが2位タイ、Tが4位相当、Qが5位となります。
確定する情報と不明な情報を分ける
この問題で確定しているのは、得点の数値関係と平均点です。一方、テストの順位をどのように表記するか、同点者の順位をどう扱うかといった運用上のルールは、問題文には明記されていません。
- Pは94点
- RとSはTの2倍
- TはQの1.5倍
- 5人の平均点は63点
条件から候補を絞り込む
平均点から合計点を出すと、63×5で315点です。P以外の4人の合計は315−94で221点になります。Qをxと置けば、残りの得点もすべてxで表せるため、候補を一つずつ試す必要はありません。
P・Q・R・S・Tの並び方を順列で数える方法
元の数学テスト問題は得点を求める問題なので、順列は使いません。ただし、同じ5人を「一列に並べる」と問われた場合は、順序を区別する順列で考えます。
5人全員を並べる場合の計算
1番目は5人、2番目は残り4人、3番目は3人、4番目は2人、5番目は1人から選びます。
5×4×3×2×1＝5!＝120
したがって、P・Q・R・S・Tの5人全員を一列に並べる方法は120通りです。得点ではRとSが同点ですが、人物としては別々なので、人物の並べ方では同じ人としてまとめません。
一部の生徒を選んで並べる場合の計算
5人から3人を選び、順番をつけて並べる場合は、順列の公式を使います。
| 問われ方 | 計算 | 答え |
|---|---|---|
| 5人全員を並べる | 5! | 120通り |
| 5人から3人を選んで並べる | 5P3＝5×4×3 | 60通り |
| 5人から3人を選ぶだけ | 5C3 | 10通り |
特定の生徒を固定する場合の解法
「Pを特定の位置に置く」といった条件がある場合は、まずPの位置を固定し、残りの生徒を並べます。ただし、確認できた元問題には、特定の位置や隣り合い方を指定する条件はありません。
数学テスト問題の解答を導く手順
条件を書き出す
まずQの得点をx点と置きます。すると、Tは1.5x点、RとSはTの2倍なので3x点です。Pは94点のままです。
場合分けまたは表を使う
この問題では場合分けは必要ありません。平均点から合計点を求め、5人分の得点を足して方程式を作ります。
平均点が63点なので、合計点は次のとおりです。
5×63＝315
したがって、
94＋x＋1.5x＋3x＋3x＝315
左辺のxをまとめると、
94＋8.5x＝315
8.5x＝221、したがってx＝26です。
計算結果を問題の条件に照らして確認する
Qが26点なら、Tは26×1.5で39点、RとSは39×2で78点です。5人の合計は94＋26＋78＋78＋39＝315点となり、315÷5＝63点です。すべての条件を満たすため、Qの得点は26点で確定します。
この問題のポイントは、順列の公式を探す前に、平均点を合計点へ変換することです。得点の関係を一つの文字で表せば、方程式一つで解けます。
まとめ：PQRSTの数学テスト問題と順列の違い
今回の問題と解法をまとめます。
- Qの得点をx点と置くと、Tは1.5x点、RとSは3x点
- 5人の合計点は、平均63点×5人で315点
- 方程式は94＋x＋1.5x＋3x＋3x＝315
- 正答はQ＝26点
- 5人の得点はP94点、Q26点、R78点、S78点、T39点
- 5人全員を一列に並べる順列は5!＝120通り
- 元の得点問題では、順列や組合せは使わない
同じような問題に取り組むときは、まず平均点を合計点に直し、分かっていない得点を文字で置いてみてください。そのうえで、条件から他の得点を表し、最後に合計の方程式を作るとスムーズに解けます。
なお、この問題の確認できた掲載元は公式試験問題・公式解答ではなく、Yahoo!知恵袋系のQ&Aページです。SPIの問題として紹介されることがありますが、公式SPIの実際の出題であることは確認できません。内容上は、能力検査の非言語分野に近い問題です。
元問題が掲載されたQ&Aページや、SPI公式サイトもあわせて確認してみてください。
